Numerical Analysis/ Design, analysis, and applications such as high-precision function approximation method/Multigrid method
Numerical Analysis
現代科学・工学の最先端で挑戦する諸問題は、もはや解析的に解くことは難しく、計算機の助けを借りねばなりません。
どうやって解くべきか、それで解いたときの数学的保証は何か、を総合的に研究する学問が数値解析です。応用（物理、生物、経済など）、数学（解析、代数、幾何など）、および計算機の知識 （プログラミング、並列化など）の３つの分野を横断し、様々な始点から研究テーマを設定できる奥の深い学問です。
この分野の研究については、松尾のＨＰも併せてご覧ください。
Design, analysis, and applications such as high-precision function approximation method
関数近似法は数値微分や数値積分、関数方程式の近似解法など、多くの解析系数値計算法の源流となる手法です。幅広い応用を持つだけでなく、数学的に興味深い理論も多くあります。
関数は一般に無限次元空間に属し、それを計算機で扱うためにどう有限次元近似するかは自明ではありません。被近似関数のクラスごとに適した近似法が研究されており、科学・工学が進化して新しい問題が出てくるごとに、常に新しい関数近似が考えられています。また、それらを基にして数値積分法や関数方程式の近似解法が設計されています。
これまで主に扱ってきた方法として、sinc関数（sin(x)/x）による方法（Sinc法）があります。これは解析関数の近似にとても向いていることが知られています。特に、日本発の強力な手法である「二重指数関数型変換」（高橋・森）と相性が良く、それと組み合わせたSinc法（DE-Sinc法）は、微分方程式や積分方程式など、様々な問題に対して強力なツールとなることが分かっています。また、関連の深い方法として、DE-Sinc法に先立って考案された数値積分法である「二重指数関数型公式」（高橋・森）があり、高精度で有用な公式として良く知られています。これらの方法はいずれも、適切な関数空間の設定のもとで準最適な精度を達成することも理論的に示されています。
さらに近年では、同様の関数空間における最適性の基準をもとにして、数理最適化による一定の方法で、より高精度な公式を設計する方法にも取り組んでいます。今後は、これらの方法をより一般的な設定へと展開していくことが課題となっています。
Multigrid method
有限要素法、差分法などによる数値シミュレーションは最終的には、
疎行列を係数行列とする大規模な連立一次方程式を解くことに帰着されます。
連立一次方程式解法としては共役勾配法（Conjugate Gradient、CG）に代表される反復法がよく使われています。
多重格子法（Multigrid、MG）は、様々な波長の誤差成分を同時に減衰させる性質があり、高速に収束するとともに、反復回数が問題規模に依存しません。
特にMGをCG法の前処理手法とするMGCG法は大規模問題向けの並列解法として有効です。
様々な複雑な問題向けのアルゴリズムの研究開発を実施しています。