松尾 宇泰
2014/4/9 (水), 15:00-17:00
東京大学 工学部6号館 235号室
降籏・森・松尾らによる「離散変分導関数法」は，ここ２０年ほど流行している構造保存型数値解法の一種で，保存・散逸則をもつ偏微分方程式を無限次元勾配系とみなして，その勾配構造をうまく離散化することで，保存・散逸則を引き継ぐ離散スキームを構成する手法である．これは大変うまくいっているが，数学的に筋が良いことの代償として，方程式が非線形な場合に，その非線形性をも（ある意味で自然に）引き継いでしまう難点があった．
その回避策のひとつとして，勾配構造を多段で定義して，非線形性を「分解」して回避する技法が知られているが[1,2]，この妥協により，今度は安定性が著しく損なわれる場合があり，現時点に至るまで，その根本的な解決方法は世界的にもopenである．
これに対し，方程式が散逸的な場合に限られるが，力学系理論の観点から[1,2]の技法で導出される多段スキームの挙動を理解し，その安定化を図る方法が，本講演者らにより近年提案された[3]．本講演ではその概要を説明するとともに，今後を展望する．
参考文献
[1] Matsuo, T. and Furihata, D., Dissipative or conservative finite-difference schemes for complex-valued nonlinear partial differential equations, J. Comput. Phys., 171 (2001), 425–447.
[2] Dahlby, M. and Owren, B., A general framework for deriving integral preserving numerical methods for PDEs, SIAM J. Sci. Comput., 33 (2011), 2318–2340.
[3] Matsuo, T. and Furihata, D., A stabilization of multistep linearly implicit schemes for dissipative systems, J. Comput. Appl. Math., 264 (2014), 35–48.
